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Fourier Transform Table

※ 단, $\delta$는 Dirac delta function.

※ 단, $\delta$는 Dirac delta function.

Wikipedia의 Fourier Transform 항목을 참고하였습니다.

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:: Preliminaries ::

Definition. 함수 $f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$가 $\mathbb{R}$에서 적분가능하고 조각마다 연속(piecewisely continuous)일 때, $f$의 푸리에 변환(Fourier transform of $f$)을 기호로 $\widehat{f}$ 또는 $\mathfrak{F}(f)$으로 쓰고, 다음과 같은 함수로 정의한다.

$$\widehat{f}:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}, \quad \widehat{f}(\omega) = \int_{-\infty}^\infty f(x)e^{-i\omega x}dx$$

Theorem. 함수 $f,g:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$가 $\mathbb{R}$에서 적분가능하고 조각마다 연속일 때, 다음이 성립한다.

(1) 임의의 실수 $a,b\in\mathbb{R}$에 대하여 $\mathfrak{F}(af+bg) = a\mathfrak{F}(f) + b\mathfrak{F}(g)$이다. 

(2) $\widehat{f'} = i\omega\widehat{f}$.

(3) $\widehat{f*g} = \widehat{f}\widehat{g}$.

(4) $a\in\mathbb{R}$에 대하여 함수 $f_a:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$를 $f_a(x) = f(x+a)$으로 정의하자. 그러면 $\widehat{f_a}(\omega) = e^{ia\omega}\widehat{f}(\omega)$이다.

(5) 함수 $f$가 $x\in\mathbb{R}$에서 연속이면 다음이 성립한다.

$$f(x) = \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^\infty \widehat{f}(\omega)e^{i\omega x}d\omega$$

만약 $f$가 $x\in\mathbb{R}$에서 불연속이면 다음이 성립한다.

$$\frac{f(x+0) + f(x-0)}{2} = \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^\infty\widehat{f}(\omega)e^{i\omega x}d\omega$$

(6) $\widehat{f} = \widehat{g}$이면 $f = g$이다.

:: Solution ::

함수 $f_0, h$를

$$f_0(x) = \left\{\begin{array}{ll} 1-|x| & \textrm{if $|x|\leq 1$} \\ 0 & \textrm{otherwise}\end{array}\right.,$$

$$h(x) = \left\{\begin{array}{ll} \cos(\pi x) & \textrm{if $k\leq x\leq k+8$} \\ 0 & \textrm{otherwise}\end{array}\right.$$

으로 정의하고, 함수 $H,K$를 다음과 같이 정의하자.

$$H(x) = \int_{-\infty}^xh(t)dt, \quad K(x) = \int_{-\infty}^xH(t)dt$$

그러면 임의의 $t\in\mathbb{R}$에 대하여

$$g(t) = \int_k^{k+8}f(x)\cos(\pi x)dx = \int_{-\infty}^\infty h(x)f_0(x-t)dx = (h*f_0)(t)$$

이다. 이때

$$\mathrm{Rect}(x) = \left\{\begin{array}{ll} 1 & \textrm{if $|x|\leq 1/2$} \\ 0 & \textrm{otherwise}\end{array}\right.$$

라고 하자. 그러면 $f_0 = \mathrm{Rect}*\mathrm{Rect}$이므로 $g = h*\mathrm{Rect}*\mathrm{Rect}$이다. 이때 함수 $g_0$를 $g_0 = h*\mathrm{Rect}$으로 정의하자. 그러면

$$\begin{eqnarray}\widehat{\mathrm{Rect}}(\omega) & = & \int_{-\infty}^\infty\mathrm{Rect}(x)e^{-i\omega x}dx = \int_{-1/2}^{1/2}e^{-i\omega x}dx \\& = & \frac{1}{-i\omega}\left[e^{-i\omega x}\right]^{1/2}_{-1/2} = \frac{e^{i\omega/2} - e^{-i\omega/2}}{i\omega}\end{eqnarray}$$

이므로

$$i\omega\widehat{g_0}(\omega) = i\omega\widehat{\mathrm{Rect}}(\omega)\widehat{h}(\omega) = e^{i\omega/2}\widehat{h}(\omega) - e^{-i\omega/2}\widehat{h}(\omega)$$

이다. 따라서

$$g_0'(t) = h\left(t+\frac{1}{2}\right) - h\left(t-\frac{1}{2}\right)$$

이다. 이때 임의의 실수 $t \leq k-1/2$에 대하여 $g_0(t) = 0$이므로

$$g_0(t) = \int_{-\infty}^tg_0'(\tau)d\tau = H\left(t+\frac{1}{2}\right) - H\left(t-\frac{1}{2}\right)$$

이다. 그리고 $g = g_0*\mathrm{Rect}$이므로

$$i\omega\widehat{g}(\omega) = e^{i\omega/2}\widehat{g_0}(\omega) - e^{-i\omega/2}\widehat{g_0}(\omega)$$

이다. 따라서

$$g'(t) = g_0\left(t+\frac{1}{2}\right) - g_0\left(t-\frac{1}{2}\right) = H(t+1) + H(t-1) - 2H(t)$$

이다. 임의의 실수 $t\leq k-1$에 대하여 $g(t) = 0$이므로,

$$\begin{eqnarray}g(t) & = & \int_{-\infty}^tg'(\tau)d\tau = \int_{-\infty}^t\left[H(\tau+1) + H(\tau-1) - 2H(\tau)\right]d\tau \\ & = & K(t+1) + K(t-1) - 2K(t)\end{eqnarray}$$

이다. 이때

$$H(x) = \int_{-\infty}^xh(t)dt = \left\{\begin{array}{ll}\frac{1}{\pi}\sin(\pi x) & \textrm{if $k\leq x\leq k+8$} \\ 0 & \textrm{otherwise}\end{array}\right.,$$

$$K(x) = \int_{-\infty}^xH(t)dt = \left\{\begin{array}{ll}-\frac{1+\cos(\pi x)}{\pi^2} & \textrm{if $k\leq x\leq k+8$} \\ 0 & \textrm{otherwise}\end{array}\right.$$

임을 이용하면 함수 $g$를 구할 수 있다. □

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