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:: SOLUTION ::

삼차함수 $f(x)$는 최고차항의 계수가 $1$이고 $x = 3$에서 극댓값 $8$을 가지므로, 다음과 같이 표현할 수 있다. $$ f(x) = (x-3)^2(x-a) + 8$$ 단, $a > 3$이다. 그러면$$f'(x) = (x-3)(3x-2a-3), \quad f'(x) = 4x-2a-6$$이므로, 삼차함수 $f(x)$는 $x = \frac{2a+3}{3}$에서 극솟값을 갖고, $x = \frac{a-3}{2}$에서 변곡점을 갖는다. 이때 $x_m = \frac{2a+3}{3}$, $x_i = \frac{a-3}{2}$이라 하자. 그리고, $f(x)$는 최고차항의 계수가 $1$인 삼차함수이므로, $3$보다 작은 하나의 실근을 갖는다. 이 실근을 $x_s$라 하자.

   한편, 함수 $-f(x) + 2f(t)$는, 함수 $f(x)$를 직선 $y=f(t)$에 대해 대칭이동한 것과 같다. 그러면, $t = x_s$에서 함수 $h(t)$는 불연속임을 알 수 있다. 만약 $f(x_m) > \frac{1}{2}f(x_m) = 4$이라면, $t > x_s$에서 함수 $h(t)$는 연속이다. 만약 $f(x_m) < 4$이라면, 두 열린 구간 $(x_s,3)$과 $(3,x_m)$ 각각에 적당한 두 실수 $x_1$과 $x_2$가 존재해서 $f(x_1) = f(x_2) = 4$를 만족시킨다. 그러면 함수 $h(t)$는 $t = x_1$과 $t = x_2$에서 불연속이다. 마지막으로, $f(x_m) = 4$인 경우에는, 함수 $h(t)$는 두 점 $t = x_s$와 $t = x_m$에서 불연속이고, 다른 모든 점에서 연속임을 알 수 있다. 따라서 $f(x_m) = 4$이고,
$$4 = f(x_m) = -\frac{4}{27}(a-3)^3 + 8$$이므로, $a = 6$이다. 그러므로, $f(8) = 25\cdot2+8 = 58$이다. $\square$

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