2018학년도 수능 수학 가형 21번

:: Solution ::

아래의 두 조건은 동치이다.

(1) $1$ 이상의 모든 실수 $x$에 대하여 $(x-e)\{g(x) - f(x)\} \geq 0$이다.

(2) $1\leq x\leq e$이면 $g(x)\leq f(x)$이고, $x\geq e$이면 $g(x)\geq f(x)$이다.

그러면 주어진 조건을 만족시키는 일차함수 $g(x)$와 $f(x)$를 좌표평면에 나타내면 아래의 그림과 같다.

이때 일차함수 $g(x)$의 기울기가 최소가 되는 경우는 $t$ 값에 따라 두 경우로 나눌 수 있다.

[그림 1] $t$가 충분히 작을 때

[그림 2] $t$가 적당히 클 때

이제 각 경우에 해당하는 $t$의 범위를 구하자. 그림 1의 경우는 일차함수 $g(x)$의 기울기가

$$\frac{(1-t) - 0}{e - 1} = \frac{1-t}{e-1}$$

이고, 이 값은 $f'(e) = 1/e$보다 커야 한다. 그러면

$$\frac{1-t}{e-1} \geq \frac{1}{e} \ \Longleftrightarrow \ t\leq \frac{1}{e}$$

를 얻는다. 따라서 그림 1의 경우는 $0<t\leq 1/e$에 해당하고, 그림 2의 경우는 $t\geq 1/e$에 해당한다. 다음으로 함수 $h(t)$를 구하자. $0<t\leq 1/e$이면

$$h(t) = \frac{1-t}{e-1}$$

이다. $t\geq \frac{1}{e}$의 경우는 그림 2에 해당하므로, 적당한 실수 $z\geq e$가 존재해서 일차함수 $g(x)$가 두 점 $(1,0)$, $(z,f(z))$를 지나고 기울기가 $f'(z)$이다. 그러면

$$g(x) = f'(z)(x-1)$$

이고 $f(z) = f'(z)(z-1)$이다. $f(z) = -t + \ln z$이고 $f'(z) = 1/z$이므로

$$-t + \ln z = 1-\frac{1}{z}$$

이다. 따라서

$$t = \ln z + \frac{1}{z} -1$$

이다. 이때 함수 $\ln z + \frac{1}{z} -1$은 $z\geq 1$에서 증가하는 함수이므로 $z\geq e$이면 $t \geq 1/e$임을 알 수 있다. 따라서 $t\geq 1/e$일 필요충분조건은 $z\geq e$이다. 그러면 임의의 $z\geq e$에 대하여 다음이 성립한다.

$$h\left(\ln z + \frac{1}{z} - 1\right) = f'(z) = \frac{1}{z}$$

따라서 $0<t\leq 1/e$일 때 $h(t) = \frac{1-t}{e-1}$이고, $t\geq 1/e$일 때 $t = \ln z + \frac{1}{z} -1$이고 $h\left(\ln z + \frac{1}{z} - 1\right) = 1/z$이다.

양수 $a$가 $h(a) = \frac{1}{e+2}$를 만족시키므로, 만약 $0<a\leq 1/e$이면 $\frac{1-a}{e-1} = \frac{1}{e+2}$임을 만족시키거나, $a\geq 1/e$이면 $a = \ln(e+2) + \frac{1}{e+2} -1$를 만족시킬 것이다. 그런데 $\frac{1-a}{e-1} = \frac{1}{e+2}$이면

$$a = 1 - \frac{e-1}{e+2} = \frac{3}{e+2} \geq \frac{3}{2e} > \frac{1}{e}$$

이므로, $a = \ln(e+2) + \frac{1}{e+2} -1$이어야 한다(참고 : $\ln(e+2) + \frac{1}{e+2} -1\geq\frac{1}{e+2}$이다). 이제 $h'\left(\frac{1}{2e}\right)$과 $h'(a)$를 구하자. 먼저 $\frac{1}{2e}<\frac{1}{e}$이므로

$$h'\left(\frac{1}{2e}\right) = -\frac{1}{e-1}$$

이다. 한편 $z\geq e$에 대하여 $h\left(\ln z + \frac{1}{z} - 1\right) = 1/z$이므로

$$\left(\frac{1}{z} - \frac{1}{z^2}\right)h'\left(\ln z + \frac{1}{z} - 1\right) = -\frac{1}{z^2}$$

이다. 따라서

$$h'(a) = \frac{-\frac{1}{(e+2)^2}}{\frac{1}{e+2} - \frac{1}{(e+2)^2}} = -\frac{1}{e+1}$$

이므로

$$h'\left(\frac{1}{2e}\right)h'(a) = \frac{1}{(e-1)(e+1)}$$

이다. $\Box$

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