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:: Solution ::

그림 (가)에서, 수조 A에서 액체의 표면으로부터 깊이가 $h$인 곳에서의 압력은 $p_0 + \rho gh$이다. 추의 질량의 $m$이라고 하면, 파스칼의 원리에 의해

$$p_0 + \rho gh = p_0 + \frac{mg}{S}\tag{1}$$

이다. 따라서 $\rho h S = m$이다. 이와 유사하게 그림 (나)에서 원통형 수조 A, B의 액체의 높이 차이가 $h$임을 알 수 있다. 그리고 부피가 $V$인 물체는 밀도가 $\frac{3}{5}\rho$이므로, 그림 (나)에서와 같이 액체의 표면에 떠 있는 상태가 되려면, 물체에 작용하는 부력이 물체의 중력과 평형을 이루어야 한다. 이때 물체의 중력은 $\frac{3}{5}\rho V g$이므로, 물체의 $\frac{3}{5}V$의 부피만큼의 부분만 액체에 잠긴다. 그림 (가)에서 그림 (나)로 바뀔 때 수조 A와 B의 액체의 표면 높이의 변화량을 각각 $\Delta h_A$, $\Delta h_B$라 하자. 수조 A와 B의 액체의 표면 높이 차이는 그림 (가)와 (나) 모두 $h$이므로, $\Delta h_A = \Delta h_B$이다. $\Delta h = \Delta h_A = \Delta h_B$이라 하자. 그러면

$$5S\Delta h + S\Delta h = \frac{2}{5}V\tag{2}$$

이다($\because$ 그림 (가)에서 (나)로 바뀔 때 액체에 잠기는 물체의 부피는 $V$에서 $\frac{3}{5}V$로 변한다). 이제 추의 중력 퍼텐셜 에너지의 차를 구해보자. 추의 중력 퍼텐셜 에너지의 차는 $mg\Delta h$이므로, 식 (1)과 (2)에 의해

$$mg\Delta h = mg\frac{1}{15}\frac{V}{S} = \frac{1}{15}mgV\frac{\rho gh}{mg} = \frac{1}{15}\rho ghV$$

임을 알 수 있다. $\Box$

:: Solution ::

경사면과 수평면 사이의 각도를 $\theta$라고 하고 물체 A와 B의 질량을 $m$이라고 하자. 먼저 (가)로부터 $mg\sin\theta = k\ell$임을 알 수 있다. 그리고 그림 (나)에서, 물체 B를 가만히 놓은 순간부터, 물체 A와 B는 중력에 의한 힘 $F_g = -mg\sin\theta$를 각각 받고, 용수철이 원래 길이로 돌아오기 전까지 용수철의 힘을 $F_g$의 반대 방향으로 받으며 같이 운동한다. 그리고 용수철의 길이가 원래 길이가 된 순간부터는, 물체 A와 B가 분리되어 A는 주기가 $T$인 단진동을 하고 B는 등가속도 직선 운동을 하는 것을 알 수 있다.

경사면 위에서 수평면으로부터 떨어진 거리에 따라 용수철에 의한 힘을 그래프로 나타내면 다음과 같다.

그러면 물체 A와 B는 용수철의 길이가 $L-2\ell$인 순간에 최대의 속력 $v_\textrm{max}$를 가지고, 에너지 보존 법칙에 의해

$$\frac{1}{2}(2m)v_\textrm{max}^2 = \frac{1}{2}k(x-\ell)^2\tag{1}$$

임을 알 수 있다. 물체 A와 B가 분리되는 순간에서의 속력을 $v$라고 하자. 그러면 에너지 보존 법칙과 식 (1)에 의해

$$\frac{1}{2}(2m)v^2 = \frac{1}{2}(2m)v_\textrm{max}^2 - \frac{1}{2}(2mg\sin\theta)(2\ell) = \frac{1}{2}k(x-\ell)^2 - 2k\ell^2\tag{2}$$

이다. 그리고 A와 B가 분리된 순간부터 처음으로 다시 만날 때까지 걸린 시간이 A의 단진동 운동 주기인 $T$이므로, 물체 A와 B는 분리된 순간에서의 위치에서 처음으로 다시 만나게 된다. 물체 B는 가속도가 $-g\sin\theta$인 등가속도 직선운동이고 분리된 순간에 물체 B의 속도는 $v$이므로

$$\frac{2v}{g\sin\theta} = T\tag{3}$$

이다. 그리고

$$T = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}\tag{4}$$

임을 알 수 있다. 그러면 식 (2), (3), (4)에 의해

$$\begin{align*} & \frac{1}{2}k(x-\ell)^2 = mv^2 + 4k\ell^2 = \frac{1}{4}m\left(gT\sin\theta\right)^2 + 2k\ell^2 \\ & \qquad = m\pi^2\frac{m}{k}\frac{k^2\ell^2}{m^2} + 2k\ell^2 \\ \Longrightarrow\quad & (x-\ell)^2 = 2\pi^2\ell^2 + 4\ell^2 \\ \Longrightarrow\quad & x = \ell + \ell\sqrt{2\pi+4}\end{align*}$$

임을 알 수 있다.

(ㄱ) 위에서 설명한 것처럼 A와 B가 분리되는 순간의 용수철의 길이는 $L$이다. ($\bigcirc$)

(ㄴ) A와 B가 분리된 순간, A는 경사면에서 수평면으로부터 $L-\ell$만큼 떨어진 위치를 기준으로 용수철 단진동 운동을 한다고 할 수 있다. 이때 경사면에서 수평면으로부터 $L$만큼 떨어진 위치에서 A의 용수철 에너지, 중력 퍼텐셜과 운동 에너지의 합은

$$\frac{1}{2}k\ell^2 + \frac{1}{2}mv^2$$

이다. 이때

$$v = \frac{1}{2}gT\sin\theta = \frac{1}{2}2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}\frac{k\ell}{m} = \pi\sqrt{\frac{k}{m}}\ell$$

이므로

$$\frac{1}{2}k\ell^2 + \frac{1}{2}mv^2 = \frac{1}{2}k\ell^2 + \frac{1}{2}k\pi^2\ell^2 = \frac{1}{2}k\left(\sqrt{\pi^2+1}\ell\right)^2$$

이다. 따라서 A의 단진동 진폭은 $\sqrt{\pi^2+1}\ell \neq \ell + \ell\sqrt{2\pi+4} = x$이다. ($\times$)

(ㄷ) 위에서 구한 바와 같이 $x = \ell + \ell\sqrt{2\pi^2+4}$이다. ($\bigcirc$)