1.1. σ-대수
Definition 1.1. 집합 X≠∅에 대하여 집합족 A⊂P(X)가 다음을 만족시키면, A를 X의 대수(algebra of subsets of X)라고 부른다.
(1) ∅∈A.
(2) A,B∈A ⟹ A∪B∈A.
(3) A∈A ⟹ X∖A∈A.
Example 1.2. X=[0,1)이고 A가 적당한 [a1,b1),⋯,[an,bn)⊂X가 존재해서 ⋃ni=1[ai,bi)으로 표현되는 모든 X의 부분집합들의 모임이면, A는 대수이다.
Proposition 1.3. A가 X의 대수이면 임의의 A1,⋯,An∈A에 대하여 다음이 성립한다.
n⋃i=1Ai,n⋂i=1Ai∈A
Proposition 1.4. X≠∅, S⊂P(X)에 대하여, S를 포함하는 가장 작은 X의 대수 A가 존재한다. 즉, A∗가 S를 포함하는 X의 대수이면 A⊂A∗이다.
Proposition 1.5. A는 X의 부분집합의 대수, 집합족 {Ai}i∈N⊂A에 대하여 다음을 만족시키는 적당한 집합족 {Bi}i∈N⊂A가 존재한다.
(1) ∀i≠j∈N Bi∩Bj=∅.
(2) ∀i∈N Bi⊂Ai.
(3) ⋃∞i=1Bi=⋃∞i=1Ai.
Proof. B1=A1이라 하고 각 n≥2마다
Bn=An∖(A1∪⋯∪An−1)
이라 정의하자. 그러면 조건 (1)이 성립함은 자명하다. i<j∈N이라 하면, Bj=Aj∖(A1∪⋯∪Ai∪⋯∪Aj−1)이므로 조건 (2)도 성립한다. 조건 (1)에 의해
∞⋃i=1Bi⊂∞⋃i=1Ai
임은 자명하다. x∈⋃∞i=1Ai이라 하자. 그러면 적당한 i∈N가 존재해서 x∈Ai이다. 이때 i0를 x∈Ai를 만족시키는 i 중 최소의 자연수라고 하자. 그러면 임의의 k=1,⋯,i0−1에 대하여 x∉Ak이다. 따라서 x∈Bi0이므로 ⋃∞i=1Bi⊃⋃∞i=1Ai이다. □
Definition 1.6. A⊂P(X)가 X의 대수라고 하자. 만약 임의의 {Ai}∞i=1⊂A에 대하여
∞⋃i=1Ai∈A
이면, A를 (X의) σ-대수(σ-algebra)라고 부른다.
Remark 1.7. 집합 X(≠∅)에 대하여 X의 임의의 σ-대수는 ∅,X를 원소로 갖는다.
Remark 1.8. A⊂P(X)가 X의 σ-대수일 필요충분조건은
(1) ∅∈A이다.
(2) 임의의 {Ai}i∈N⊂A에 대하여 ⋃∞i=1Ai∈A이다.
(3) 임의의 A∈A에 대하여 X∖A∈A이다.
임을 만족시키는 것이다.
Proposition 1.9. S⊂P(X)에 대하여, S를 포함하는 최소의 σ-대수가 존재한다. 이러한 σ-대수를 S에 의해 생성되는(generated) X의 σ-대수라고 부르고, σ(S)으로 표기한다.
Proof. G를 다음과 같이 정의하자.
G=⋂{A | A is a σ-algebra and S⊂A}
그러면 G는 σ-대수가 된다. □
Example 1.10. X가 비가산집합이라 하고
A={A⊂X | Either A or X∖A is countable.}
이라 하자. 그러면 A는 σ-대수이다.
Solution. {Ai}i∈N⊂A이라 하자. 이때 모든 i∈N에 대하여 Ai가 가산집합이면 ⋃∞i=1Ai도 가산집합이다. 반대로 적당한 n∈N에 대해 An가 비가산집합이면
(∞⋃i=1Ai)c=∞⋂i=1Aci⊂An
임을 알 수 있다. □
Definition 1.11. 집합 X≠∅에 대하여 다음을 정의한다.
(1) S⊂P(X)가 다음의 조건 (a), (b), (c)를 만족시키면, S를 X의 d-시스템(d-system of X)이라고 부른다.
(a) X∈S,
(b) A,B∈S이고 A⊂B이면 B∖A∈S이다.
(c) {An}n∈N⊂S이고 A1⊂A2⊂⋯이면, ⋃∞n=1An∈S이다.
(2) S⊂P(X)가
A1,⋯,An∈S ⟹ n⋂k=1Ak∈S
임을 만족시키면, S를 X의 π-시스템(π-system of X)이라고 부른다.
Proposition 1.12. A⊂P(X)가 X≠∅의 σ-대수일 필요충분조건은 A가 X의 d-시스템이고 π-시스템인 것이다.
Proof. (⟹) 자명하다.
(⟸) A가 X의 d-시스템이고 π-시스템이라 하자. 먼저 X∈A이므로 ∅=X∖X∈A이다. 그리고 A∈A이면 X∖A∈A이다. {An}n∈N⊂A이라 하자. 그러면 Ac1,Ac2,⋯∈A이고, A가 π-시스템이므로 ⋂nk=1Ack∈A이다. 따라서 ⋃nk=1Ak=(⋂nk=1Ack)c∈A이다. 이때 A∗n=⋃nk=1Ak이라 하면, A∗1⊂A∗2⊂⋯이므로 ⋃∞n=1An=⋃∞n=1A∗n∈A이다. 따라서 A는 σ-대수이다. □
Remark 1.13. S⊂P(X)에 대하여, S를 포함하는 가장 작은 d-시스템과 π-시스템이 존재한다. 이때의 d-시스템과 π-시스템을 각각 d(S),π(S)으로 표기한다.
Theorem 1.14 (단조모임정리, Monotone Class Theorem) 집합 X≠∅와 S⊂P(X)에 대하여, S가 X의 π-시스템이라 하자. 그러면 d(S)=σ(S)이다.
Proof. Proposition 1.12에 의해 σ(S)는 S를 포함하는 d-시스템이다. 따라서 d(S)⊂σ(S)이다. 이때 d(S)가 σ-대수이면 d(S)⊃σ(S)가 성립하므로, Proposition 1.12에 의해 d(S)가 π-시스템임을 보이면 된다. D=d(S)이라 하자. 이때 각 B∈D마다 다음을 정의하자.
DB={A∈D | A∩B∈D}
Claim. 임의의 B∈D에 대하여 DB=D이다.
그러면 DB⊂D임이 자명하다. X∈DB이고, A1,A2∈DB이고 A1⊂A2이면 (A2∖A1)∩B=(A2∩B)∖(A1∩B)∈D이므로 A2∖A1∈DB이다. {An}n∈N⊂DB이고 A1⊂A2⊂⋯이면, B∩(⋃∞n=1An)=⋃∞n=1(An∩B)∈D이므로 ⋃∞n=1An∈DB이다. 따라서 DB는 d-시스템이다. S∈S이라 하자. S는 π-시스템이므로 S⊂DS임이 자명하다. 따라서 임의의 S∈S에 대하여, DS는 S를 포함하는 가장 작은 d-시스템이므로, D=DS이다. B∈D이라 하자. 그러면 임의의 S∈S에 대하여 B∈DS이므로, 임의의 S∈S에 대하여 B∩S∈D이다. 따라서 임의의 S∈S에 대하여 S∈DB이다. 즉, 임의의 B∈D에 대하여 S⊂DB이므로, 임의의 B∈D에 대하여 D=DB임을 알 수 있다.
위의 Claim을 이용하여 D가 π-시스템임을 보이자. A1,⋯,An∈D이라 하자. A1∈DA2이므로 A1∩A2∈D이다. 이 과정을 반복하면 A1∩⋯∩An∈D임을 보일 수 있다. 따라서 D는 π-시스템이고, Proposition 1.12에 의해 D=d(S)는 σ-대수이다. 따라서 d(S)=σ(S)이다. □
1.2. 보렐 집합
Definition 1.15. O⊂P(Rn)가 Rn의 모든 열린 집합들을 원소로 갖는 집합족이라고 하자. 이때 O를 포함하는 최소의 (R의) σ-대수 B를 Rn의 보렐 σ-대수(Borel-σ-algebra on Rn)라고 부르며, 보렐 σ-대수의 원소들을 보렐 집합(Borel set)이라고 부른다.
Remark 1.16. B⊂P(Rn)에 대하여 다음의 명제들은 서로 동치이다.
(1) B는 R의 보렐 σ-대수이다.
(2) B는 R의 모든 닫힌 집합들을 원소로 갖는 집합족을 포함하는 최소의 σ-대수이다.
(3) (n=1인 경우) B는 R의 모든 열린 구간들을 원소로 갖는 집합족을 포함하는 최소의 σ-대수이다.
(4) (n=1인 경우) B는 R의 모든 닫힌 구간들을 원소로 갖는 집합족을 포함하는 최소의 σ-대수이다.
Remark 1.17. 모든 열린 집합, 닫힌 집합은 보렐 집합이다.
Definition 1.18. 열린 집합들의 가산교집합을 Gδ-집합(Gδ-set)이라 부르고, 닫힌 집합들의 가산합집합을 Fσ-집합(Fσ-set)이라 부른다.
Remark 1.19. Gδ-집합과 Fσ-집합은 모두 보렐 집합이다.
Remark 1.20. O={O⊂Rn | O is open}이라 정의하자. 그러면 O는 π-시스템임이 자명하다. 따라서 Monotone Class Theorem(1.14)에 의해 d(O)=σ(O)=B이다.
:: Reference ::
1. Alan F. Karr: Probability, Springer.
