Personal Library

:: Solution ::

그림 (가)에서, 수조 A에서 액체의 표면으로부터 깊이가 $h$인 곳에서의 압력은 $p_0 + \rho gh$이다. 추의 질량의 $m$이라고 하면, 파스칼의 원리에 의해

$$p_0 + \rho gh = p_0 + \frac{mg}{S}\tag{1}$$

이다. 따라서 $\rho h S = m$이다. 이와 유사하게 그림 (나)에서 원통형 수조 A, B의 액체의 높이 차이가 $h$임을 알 수 있다. 그리고 부피가 $V$인 물체는 밀도가 $\frac{3}{5}\rho$이므로, 그림 (나)에서와 같이 액체의 표면에 떠 있는 상태가 되려면, 물체에 작용하는 부력이 물체의 중력과 평형을 이루어야 한다. 이때 물체의 중력은 $\frac{3}{5}\rho V g$이므로, 물체의 $\frac{3}{5}V$의 부피만큼의 부분만 액체에 잠긴다. 그림 (가)에서 그림 (나)로 바뀔 때 수조 A와 B의 액체의 표면 높이의 변화량을 각각 $\Delta h_A$, $\Delta h_B$라 하자. 수조 A와 B의 액체의 표면 높이 차이는 그림 (가)와 (나) 모두 $h$이므로, $\Delta h_A = \Delta h_B$이다. $\Delta h = \Delta h_A = \Delta h_B$이라 하자. 그러면

$$5S\Delta h + S\Delta h = \frac{2}{5}V\tag{2}$$

이다($\because$ 그림 (가)에서 (나)로 바뀔 때 액체에 잠기는 물체의 부피는 $V$에서 $\frac{3}{5}V$로 변한다). 이제 추의 중력 퍼텐셜 에너지의 차를 구해보자. 추의 중력 퍼텐셜 에너지의 차는 $mg\Delta h$이므로, 식 (1)과 (2)에 의해

$$mg\Delta h = mg\frac{1}{15}\frac{V}{S} = \frac{1}{15}mgV\frac{\rho gh}{mg} = \frac{1}{15}\rho ghV$$

임을 알 수 있다. $\Box$