Personal Library

:: Solution ::

임의의 $a>0$에 대하여 다음이 성립한다.

$$\int_{2a}^{4a}\frac{f(x)}{x}dx = \int_a^{2a}\frac{f(2t)}{2t}2dt = 2\int_a^{2a}\frac{f(2x)}{2x}dx$$

이때 모든 실수 $x$에 대하여 $f(2x) = 2f(x)f'(x)$이므로

$$\begin{eqnarray} \int_a^{2a}\frac{f(2x)}{2x}dx & = & \int_a^{2a}\frac{f(x)f'(x)}{x}dx = \left[\frac{\left(f(x)\right)^2}{2x}\right]^{2a}_a + \frac{1}{2}\int_a^{2a}\left(\frac{f(x)}{x}\right)^2dx \\ & = & \frac{\left(f(2a)\right)^2}{4a} - \frac{\left(f(a)\right)^2}{2a} + \frac{1}{2}\int_a^{2a}\left(\frac{f(x)}{x}\right)^2dx \end{eqnarray}$$

이다. 이때 $f(a) = 0$이고 $f(2a) = 2f(a)f'(a) = 0$이므로

$$\int_a^{2a}\frac{f(2x)}{2x}dx = \frac{1}{2}\int_a^{2a}\left(\frac{f(x)}{x}\right)^2dx$$

이다. 따라서

$$\int_a^{2a}\left(\frac{f(x)}{x}\right)^2dx = 2\int_a^{2a}\frac{f(2x)}{2x}dx = \int_{2a}^{4a}\frac{f(x)}{x}dx = k$$

이다. $\Box$

이 글을 네이버 블로그에서 보기 (링크)