2014학년도 수능 수학 B형 21번

:: Solution ::

연속함수 $y = f(x)$의 한 부정적분을 $F(x)$라 하자. $f(x)$는 모든 실수 $x$에 대하여

$$f(x) = \frac{\pi}{2}\int_1^{x+1}f(t)dt\tag{1}$$

를 만족시키므로

$$f(1) = \frac{\pi}{2}\int_1^{2}f(t)dt, \ f(-1) = -\frac{\pi}{2}\int_0^{1}f(t)dt\tag{2}$$

이다. 그런데 $y=f(x)$는 원점에 대하여 대칭이므로

$$\frac{\pi}{2}\int_1^{2}f(t)dt = f(1) = -f(-1) = \frac{\pi}{2}\int_0^{1}f(t)dt\tag{3}$$

이다. 한편 식 (1)로부터

$$f(x) = \frac{\pi}{2}\left[ F(x+1) - F(1)\right]$$

이므로

$$\frac{2}{\pi}f(x) + F(1) = F(x+1)$$

이다. 그러면

$$\frac{2}{\pi}\int_0^1f(x)dx + F(1) = \int_0^1F(x+1)dx\tag{4}$$

이다. 이제 식 (1), (2), (3), (4)를 이용하면 다음을 얻을 수 있다.

$$\begin{eqnarray}
\pi^2\int_0^1xf(x+1)dx & = & \pi^2\left(\left[xF(x+1)\right]_0^1 - \int_0^1F(x+1)dx\right) \\
& = & \pi^2F(2) - \pi^2\int_0^1F(x+1)dx \\
& = & \pi^2F(2) - 2\pi\int_0^1f(x)dx - \pi^2F(1) = \pi^2\left[F(2) - F(1)\right] - 2\pi\int_0^1f(x)dx \\
& = & \pi^2\int_1^2f(x)dx - 2\pi\int_0^1f(x)dx = 2\pi f(1) + 4f(-1) \\
& = & (2\pi - 4)f(1) \quad \textrm{($\because$ $f$는 원점에 대하여 대칭)}
\end{eqnarray}$$

이때 $f(1) = 1$이므로

$$\pi^2\int_0^1xf(x+1)dx = 2(\pi-2)$$

를 얻는다. $\Box$

네이버 블로그에서 이 글을 보기 (링크)