1.1. σ-대수
Definition 1.1. 집합 $X\neq \emptyset$에 대하여 집합족 $\mathcal{A}\subset\mathscr{P}(X)$가 다음을 만족시키면, $\mathcal{A}$를 $X$의 대수(algebra of subsets of $X$)라고 부른다.
(1) $\emptyset\in\mathcal{A}$.
(2) $A,B\in\mathcal{A}$ $\Longrightarrow$ $A\cup B\in\mathcal{A}$.
(3) $A\in\mathcal{A}$ $\Longrightarrow$ $X\setminus A\in\mathcal{A}$.
Example 1.2. $X = [0,1)$이고 $\mathcal{A}$가 적당한 $[a_1,b_1),\cdots, [a_n,b_n)\subset X$가 존재해서 $\bigcup_{i=1}^n[a_i,b_i)$으로 표현되는 모든 $X$의 부분집합들의 모임이면, $\mathcal{A}$는 대수이다.
Proposition 1.3. $\mathcal{A}$가 $X$의 대수이면 임의의 $A_1,\cdots,A_n\in\mathcal{A}$에 대하여 다음이 성립한다.
$$\bigcup_{i=1}^nA_i, \bigcap_{i=1}^nA_i\in\mathcal{A}$$
Proposition 1.4. $X\neq\emptyset$, $\mathcal{S}\subset\mathscr{P}(X)$에 대하여, $\mathcal{S}$를 포함하는 가장 작은 $X$의 대수 $\mathcal{A}$가 존재한다. 즉, $\mathcal{A}^*$가 $\mathcal{S}$를 포함하는 $X$의 대수이면 $\mathcal{A}\subset\mathcal{A}^*$이다.
Proposition 1.5. $\mathcal{A}$는 $X$의 부분집합의 대수, 집합족 $\{A_i\}_{i\in\mathbb{N}}\subset \mathcal{A}$에 대하여 다음을 만족시키는 적당한 집합족 $\{B_i\}_{i\in\mathbb{N}}\subset\mathcal{A}$가 존재한다.
(1) $\forall i\neq j\in\mathbb{N}$ $B_i\cap B_j = \emptyset$.
(2) $\forall i\in\mathbb{N}$ $B_i\subset A_i$.
(3) $\bigcup_{i=1}^\infty B_i = \bigcup_{i=1}^\infty A_i$.
Proof. $B_1 = A_1$이라 하고 각 $n\geq 2$마다
$$B_n = A_n\setminus(A_1\cup\cdots\cup A_{n-1})$$
이라 정의하자. 그러면 조건 (1)이 성립함은 자명하다. $i<j\in\mathbb{N}$이라 하면, $B_j = A_j\setminus (A_1\cup\cdots \cup A_i\cup\cdots\cup A_{j-1})$이므로 조건 (2)도 성립한다. 조건 (1)에 의해
$$\bigcup_{i=1}^\infty B_i\subset\bigcup_{i=1}^\infty A_i$$
임은 자명하다. $x\in \bigcup_{i=1}^\infty A_i$이라 하자. 그러면 적당한 $i\in\mathbb{N}$가 존재해서 $x\in A_i$이다. 이때 $i_0$를 $x\in A_i$를 만족시키는 $i$ 중 최소의 자연수라고 하자. 그러면 임의의 $k=1,\cdots, i_0-1$에 대하여 $x\notin A_k$이다. 따라서 $x\in B_{i_0}$이므로 $\bigcup_{i=1}^\infty B_i\supset\bigcup_{i=1}^\infty A_i$이다. □
Definition 1.6. $\mathcal{A}\subset\mathscr{P}(X)$가 $X$의 대수라고 하자. 만약 임의의 $\{A_i\}_{i=1}^\infty\subset\mathcal{A}$에 대하여
$$\bigcup_{i=1}^\infty A_i\in \mathcal{A}$$
이면, $\mathcal{A}$를 ($X$의) $\sigma$-대수($\sigma$-algebra)라고 부른다.
Remark 1.7. 집합 $X(\neq\emptyset)$에 대하여 $X$의 임의의 $\sigma$-대수는 $\emptyset, X$를 원소로 갖는다.
Remark 1.8. $\mathcal{A}\subset\mathscr{P}(X)$가 $X$의 $\sigma$-대수일 필요충분조건은
(1) $\emptyset\in\mathcal{A}$이다.
(2) 임의의 $\{A_i\}_{i\in\mathbb{N}}\subset\mathcal{A}$에 대하여 $\bigcup_{i=1}^\infty A_i\in\mathcal{A}$이다.
(3) 임의의 $A\in\mathcal{A}$에 대하여 $X\setminus A\in\mathcal{A}$이다.
임을 만족시키는 것이다.
Proposition 1.9. $\mathcal{S}\subset\mathscr{P}(X)$에 대하여, $\mathcal{S}$를 포함하는 최소의 $\sigma$-대수가 존재한다. 이러한 $\sigma$-대수를 $\mathcal{S}$에 의해 생성되는(generated) $X$의 $\sigma$-대수라고 부르고, $\sigma(\mathcal{S})$으로 표기한다.
Proof. $\mathcal{G}$를 다음과 같이 정의하자.
$$\mathcal{G} = \bigcap\{\mathcal{A}\ |\ \textrm{$\mathcal{A}$ is a $\sigma$-algebra and $\mathcal{S}\subset\mathcal{A}$}\}$$
그러면 $\mathcal{G}$는 $\sigma$-대수가 된다. □
Example 1.10. $X$가 비가산집합이라 하고
$$\mathcal{A} = \{A\subset X\ |\ \textrm{Either $A$ or $X\setminus A$ is countable.}\}$$
이라 하자. 그러면 $\mathcal{A}$는 $\sigma$-대수이다.
Solution. $\{A_i\}_{i\in\mathbb{N}}\subset\mathcal{A}$이라 하자. 이때 모든 $i\in\mathbb{N}$에 대하여 $A_i$가 가산집합이면 $\bigcup_{i=1}^\infty A_i$도 가산집합이다. 반대로 적당한 $n\in\mathbb{N}$에 대해 $A_n$가 비가산집합이면
$$\left(\bigcup_{i=1}^\infty A_i\right)^c = \bigcap_{i=1}^\infty A_i^c \subset A_n$$
임을 알 수 있다. □
Definition 1.11. 집합 $X\neq\emptyset$에 대하여 다음을 정의한다.
(1) $\mathcal{S}\subset\mathscr{P}(X)$가 다음의 조건 (a), (b), (c)를 만족시키면, $\mathcal{S}$를 $X$의 d-시스템(d-system of $X$)이라고 부른다.
(a) $X\in \mathcal{S}$,
(b) $A,B\in \mathcal{S}$이고 $A\subset B$이면 $B\setminus A\in\mathcal{S}$이다.
(c) $\{A_n\}_{n\in\mathbb{N}}\subset\mathcal{S}$이고 $A_1\subset A_2\subset\cdots$이면, $\bigcup_{n=1}^\infty A_n\in\mathcal{S}$이다.
(2) $\mathcal{S}\subset\mathscr{P}(X)$가
$$A_1,\cdots,A_n\in\mathcal{S}\ \Longrightarrow \ \bigcap_{k=1}^nA_k\in\mathcal{S}$$
임을 만족시키면, $\mathcal{S}$를 $X$의 $\pi$-시스템($\pi$-system of $X$)이라고 부른다.
Proposition 1.12. $\mathcal{A}\subset\mathscr{P}(X)$가 $X\neq\emptyset$의 $\sigma$-대수일 필요충분조건은 $\mathcal{A}$가 $X$의 d-시스템이고 $\pi$-시스템인 것이다.
Proof. ($\Longrightarrow$) 자명하다.
($\Longleftarrow$) $\mathcal{A}$가 $X$의 d-시스템이고 $\pi$-시스템이라 하자. 먼저 $X\in\mathcal{A}$이므로 $\emptyset = X\setminus X\in \mathcal{A}$이다. 그리고 $A\in\mathcal{A}$이면 $X\setminus A\in\mathcal{A}$이다. $\{A_n\}_{n\in\mathbb{N}}\subset\mathcal{A}$이라 하자. 그러면 $A_1^c,A_2^c,\cdots\in\mathcal{A}$이고, $\mathcal{A}$가 $\pi$-시스템이므로 $\bigcap_{k=1}^nA_k^c\in\mathcal{A}$이다. 따라서 $\bigcup_{k=1}^nA_k = \left(\bigcap_{k=1}^nA_k^c\right)^c\in\mathcal{A}$이다. 이때 $A_n^* = \bigcup_{k=1}^nA_k$이라 하면, $A_1^*\subset A_2^*\subset\cdots$이므로 $\bigcup_{n=1}^\infty A_n = \bigcup_{n=1}^\infty A_n^*\in\mathcal{A}$이다. 따라서 $\mathcal{A}$는 $\sigma$-대수이다. □
Remark 1.13. $\mathcal{S}\subset\mathscr{P}(X)$에 대하여, $\mathcal{S}$를 포함하는 가장 작은 d-시스템과 $\pi$-시스템이 존재한다. 이때의 d-시스템과 $\pi$-시스템을 각각 $d(\mathcal{S}), \pi(\mathcal{S})$으로 표기한다.
Theorem 1.14 (단조모임정리, Monotone Class Theorem) 집합 $X\neq\emptyset$와 $\mathcal{S}\subset\mathscr{P}(X)$에 대하여, $\mathcal{S}$가 $X$의 $\pi$-시스템이라 하자. 그러면 $d(\mathcal{S}) = \sigma(\mathcal{S})$이다.
Proof. Proposition 1.12에 의해 $\sigma(\mathcal{S})$는 $\mathcal{S}$를 포함하는 d-시스템이다. 따라서 $d(\mathcal{S})\subset \sigma(\mathcal{S})$이다. 이때 $d(\mathcal{S})$가 $\sigma$-대수이면 $d(\mathcal{S})\supset \sigma(\mathcal{S})$가 성립하므로, Proposition 1.12에 의해 $d(\mathcal{S})$가 $\pi$-시스템임을 보이면 된다. $\mathcal{D} = d(\mathcal{S})$이라 하자. 이때 각 $B\in\mathcal{D}$마다 다음을 정의하자.
$$\mathcal{D}_B = \{A\in\mathcal{D}\ |\ A\cap B\in\mathcal{D}\}$$
Claim. 임의의 $B\in\mathcal{D}$에 대하여 $\mathcal{D}_B = \mathcal{D}$이다.
그러면 $\mathcal{D}_B\subset\mathcal{D}$임이 자명하다. $X\in\mathcal{D}_B$이고, $A_1,A_2\in\mathcal{D}_B$이고 $A_1\subset A_2$이면 $(A_2\setminus A_1)\cap B = (A_2\cap B) \setminus (A_1\cap B)\in\mathcal{D}$이므로 $A_2\setminus A_1\in\mathcal{D}_B$이다. $\{A_n\}_{n\in\mathbb{N}}\subset\mathcal{D}_B$이고 $A_1\subset A_2\subset\cdots$이면, $B\cap \left(\bigcup_{n=1}^\infty A_n\right) = \bigcup_{n=1}^\infty (A_n\cap B)\in\mathcal{D}$이므로 $\bigcup_{n=1}^\infty A_n\in\mathcal{D}_B$이다. 따라서 $\mathcal{D}_B$는 d-시스템이다. $S\in\mathcal{S}$이라 하자. $\mathcal{S}$는 $\pi$-시스템이므로 $\mathcal{S}\subset \mathcal{D}_S$임이 자명하다. 따라서 임의의 $S\in\mathcal{S}$에 대하여, $\mathcal{D}_S$는 $\mathcal{S}$를 포함하는 가장 작은 d-시스템이므로, $\mathcal{D} = \mathcal{D}_S$이다. $B\in\mathcal{D}$이라 하자. 그러면 임의의 $S\in\mathcal{S}$에 대하여 $B\in\mathcal{D}_S$이므로, 임의의 $S\in\mathcal{S}$에 대하여 $B\cap S\in\mathcal{D}$이다. 따라서 임의의 $S\in\mathcal{S}$에 대하여 $S\in\mathcal{D}_B$이다. 즉, 임의의 $B\in\mathcal{D}$에 대하여 $\mathcal{S}\subset\mathcal{D}_B$이므로, 임의의 $B\in\mathcal{D}$에 대하여 $\mathcal{D} = \mathcal{D}_B$임을 알 수 있다.
위의 Claim을 이용하여 $\mathcal{D}$가 $\pi$-시스템임을 보이자. $A_1,\cdots,A_n\in\mathcal{D}$이라 하자. $A_1\in\mathcal{D}_{A_2}$이므로 $A_1\cap A_2\in\mathcal{D}$이다. 이 과정을 반복하면 $A_1\cap\cdots\cap A_n\in\mathcal{D}$임을 보일 수 있다. 따라서 $\mathcal{D}$는 $\pi$-시스템이고, Proposition 1.12에 의해 $\mathcal{D} = d(\mathcal{S})$는 $\sigma$-대수이다. 따라서 $d(\mathcal{S}) = \sigma(\mathcal{S})$이다. □
1.2. 보렐 집합
Definition 1.15. $\mathcal{O}\subset\mathscr{P}(\mathbb{R}^n)$가 $\mathbb{R}^n$의 모든 열린 집합들을 원소로 갖는 집합족이라고 하자. 이때 $\mathcal{O}$를 포함하는 최소의 ($\mathbb{R}$의) $\sigma$-대수 $\mathcal{B}$를 $\mathbb{R}^n$의 보렐 $\sigma$-대수(Borel-$\sigma$-algebra on $\mathbb{R}^n$)라고 부르며, 보렐 $\sigma$-대수의 원소들을 보렐 집합(Borel set)이라고 부른다.
Remark 1.16. $\mathcal{B}\subset\mathscr{P}(\mathbb{R}^n)$에 대하여 다음의 명제들은 서로 동치이다.
(1) $\mathcal{B}$는 $\mathbb{R}$의 보렐 $\sigma$-대수이다.
(2) $\mathcal{B}$는 $\mathbb{R}$의 모든 닫힌 집합들을 원소로 갖는 집합족을 포함하는 최소의 $\sigma$-대수이다.
(3) ($n=1$인 경우) $\mathcal{B}$는 $\mathbb{R}$의 모든 열린 구간들을 원소로 갖는 집합족을 포함하는 최소의 $\sigma$-대수이다.
(4) ($n=1$인 경우) $\mathcal{B}$는 $\mathbb{R}$의 모든 닫힌 구간들을 원소로 갖는 집합족을 포함하는 최소의 $\sigma$-대수이다.
Remark 1.17. 모든 열린 집합, 닫힌 집합은 보렐 집합이다.
Definition 1.18. 열린 집합들의 가산교집합을 $G_\delta$-집합($G_\delta$-set)이라 부르고, 닫힌 집합들의 가산합집합을 $F_\sigma$-집합($F_\sigma$-set)이라 부른다.
Remark 1.19. $G_\delta$-집합과 $F_\sigma$-집합은 모두 보렐 집합이다.
Remark 1.20. $\mathcal{O} = \{O\subset\mathbb{R}^n\ |\ \textrm{$O$ is open}\}$이라 정의하자. 그러면 $\mathcal{O}$는 $\pi$-시스템임이 자명하다. 따라서 Monotone Class Theorem(1.14)에 의해 $d(\mathcal{O}) = \sigma(\mathcal{O}) = \mathcal{B}$이다.
:: Reference ::
1. Alan F. Karr: Probability, Springer.
