2018학년도 수능 물리2 20번

 

 

 

 

 

:: Solution ::

 

 

경사면과 수평면 사이의 각도를 $\theta$라고 하고 물체 A와 B의 질량을 $m$이라고 하자. 먼저 (가)로부터 $mg\sin\theta = k\ell$임을 알 수 있다. 그리고 그림 (나)에서, 물체 B를 가만히 놓은 순간부터, 물체 A와 B는 중력에 의한 힘 $F_g = -mg\sin\theta$를 각각 받고, 용수철이 원래 길이로 돌아오기 전까지 용수철의 힘을 $F_g$의 반대 방향으로 받으며 같이 운동한다. 그리고 용수철의 길이가 원래 길이가 된 순간부터는, 물체 A와 B가 분리되어 A는 주기가 $T$인 단진동을 하고 B는 등가속도 직선 운동을 하는 것을 알 수 있다.

 

경사면 위에서 수평면으로부터 떨어진 거리에 따라 용수철에 의한 힘을 그래프로 나타내면 다음과 같다.

 

 

 

 

 

그러면 물체 A와 B는 용수철의 길이가 $L-2\ell$인 순간에 최대의 속력 $v_\textrm{max}$를 가지고, 에너지 보존 법칙에 의해

$$\frac{1}{2}(2m)v_\textrm{max}^2 = \frac{1}{2}k(x-\ell)^2\tag{1}$$

임을 알 수 있다. 물체 A와 B가 분리되는 순간에서의 속력을 $v$라고 하자. 그러면 에너지 보존 법칙과 식 (1)에 의해

$$\frac{1}{2}(2m)v^2 = \frac{1}{2}(2m)v_\textrm{max}^2 - \frac{1}{2}(2mg\sin\theta)(2\ell) = \frac{1}{2}k(x-\ell)^2 - 2k\ell^2\tag{2}$$

이다. 그리고 A와 B가 분리된 순간부터 처음으로 다시 만날 때까지 걸린 시간이 A의 단진동 운동 주기인 $T$이므로, 물체 A와 B는 분리된 순간에서의 위치에서 처음으로 다시 만나게 된다. 물체 B는 가속도가 $-g\sin\theta$인 등가속도 직선운동이고 분리된 순간에 물체 B의 속도는 $v$이므로

$$\frac{2v}{g\sin\theta} = T\tag{3}$$

이다. 그리고

$$T = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}\tag{4}$$

임을 알 수 있다. 그러면 식 (2), (3), (4)에 의해

$$\begin{align*} & \frac{1}{2}k(x-\ell)^2 = mv^2 + 4k\ell^2 = \frac{1}{4}m\left(gT\sin\theta\right)^2 + 2k\ell^2 \\ & \qquad = m\pi^2\frac{m}{k}\frac{k^2\ell^2}{m^2} + 2k\ell^2 \\ \Longrightarrow\quad & (x-\ell)^2 = 2\pi^2\ell^2 + 4\ell^2 \\ \Longrightarrow\quad & x = \ell + \ell\sqrt{2\pi+4}\end{align*}$$

임을 알 수 있다.

 

(ㄱ) 위에서 설명한 것처럼 A와 B가 분리되는 순간의 용수철의 길이는 $L$이다. ($\bigcirc$)

 

(ㄴ) A와 B가 분리된 순간, A는 경사면에서 수평면으로부터 $L-\ell$만큼 떨어진 위치를 기준으로 용수철 단진동 운동을 한다고 할 수 있다. 이때 경사면에서 수평면으로부터 $L$만큼 떨어진 위치에서 A의 용수철 에너지, 중력 퍼텐셜과 운동 에너지의 합은

$$\frac{1}{2}k\ell^2 + \frac{1}{2}mv^2$$

이다. 이때

$$v = \frac{1}{2}gT\sin\theta = \frac{1}{2}2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}\frac{k\ell}{m} = \pi\sqrt{\frac{k}{m}}\ell$$

이므로

$$\frac{1}{2}k\ell^2 + \frac{1}{2}mv^2 = \frac{1}{2}k\ell^2 + \frac{1}{2}k\pi^2\ell^2 = \frac{1}{2}k\left(\sqrt{\pi^2+1}\ell\right)^2$$

이다. 따라서 A의 단진동 진폭은 $\sqrt{\pi^2+1}\ell \neq \ell + \ell\sqrt{2\pi+4} = x$이다. ($\times$)

 

(ㄷ) 위에서 구한 바와 같이 $x = \ell + \ell\sqrt{2\pi^2+4}$이다. ($\bigcirc$)