2018학년 수능 수학 가형 30번

:: Solution ::

실수 $t$가 $t-1\leq a\leq t\leq b\leq t+1$을 만족시키면 다음이 성립한다.

$$\begin{eqnarray}
\int_a^t(1+x-t)\cos\pi xdx & = & \left[\frac{1+x-t}{\pi}\sin\pi x\right]_a^t-\frac{1}{\pi}\int_a^t\sin\pi xdx \\
& = & \frac{\sin\pi t}{\pi} - \frac{(1+a-t)\sin\pi a}{\pi} + \frac{\cos\pi t}{\pi^2} - \frac{\cos\pi a}{\pi^2} \\
\int_t^b(1-x+t)\cos\pi xdx & = & \left[\frac{1-x+t}{\pi}\sin\pi x\right]_t^b + \frac{1}{\pi}\int_t^b\sin\pi xdx \\
& = & \frac{1-b+t}{\pi}\sin\pi b - \frac{\sin\pi t}{\pi} + \frac{\cos\pi t}{\pi^2} - \frac{\cos\pi b}{\pi^2}
\end{eqnarray}$$

이를 이용하여 함수 $g(t)$를 구해보자.

(1) $t\leq k-1$이거나 $t\geq k+9$일 때

$k\leq x\leq k+8$일 때 $f(x)\cos\pi x = 0$이므로 $g(t) = 0$이다.

(2) $k-1\leq t\leq k$일 때

$$\begin{eqnarray}
g(t) & = & \int_k^{t+1}(1-x+t)\cos\pi xdx = \left[\frac{1-x+t}{\pi}\sin\pi x\right]_k^{t+1} + \frac{1}{\pi}\int_k^{t+1}\sin\pi xdx \\
& = & \frac{\cos\pi t + \cos\pi k}{\pi^2} = \frac{\cos\pi t-1}{\pi^2} \quad \textrm{($\because$ $k$는 홀수)}
\end{eqnarray}$$

(3) $k\leq t\leq k+1$일 때

$$\begin{eqnarray}
g(t) & = & \int_k^t(1+x-t)\cos\pi xdx + \int_t^{t+1}(1-x+t)\cos\pi xdx \\
& = & -\frac{1+k-t}{\pi}\sin\pi k + \frac{\cos\pi t - \cos\pi k + 2\cos\pi t}{\pi^2} \\
& = & \frac{1+3\cos\pi t}{\pi^2} \quad \textrm{($\because$ $k$는 홀수)}
\end{eqnarray}$$

(4) $k+1\leq t\leq k+7$일 때

$$g(t) = \int_{t-1}^t(1+x-t)\cos\pi xdx + \int_t^{t+1}(1-x+t)\cos\pi xdx = \frac{4\cos\pi t}{\pi^2}$$

(5) $k+7\leq t\leq k+8$일 때

$$g(t) = \int_{t-1}^t(1+x-t)\cos\pi xdx + \int_t^{k+8}(1-x+t)\cos\pi xdx = \frac{1+3\cos\pi t}{\pi^2}$$

(6) $k+8\leq t\leq k+9$일 때

$$\begin{eqnarray}
g(t) & = & \int_{t-1}^{k+8}(1+x-t)\cos\pi xdx = \left[\frac{1+x-t}{\pi}\sin\pi x\right]_{t-1}^{k+8} - \frac{1}{\pi}\int_{t-1}^{k+8}\sin\pi xdx \\
& = & \frac{\cos\pi t-1}{\pi^2}
\end{eqnarray}$$

따라서 함수 $g(t)$의 그래프는 다음과 같다.

이때 함수 $g(t)$는 구간 $[k,k+8]$에서 $5$개의 극소값을 가짐을 알 수 있다. 따라서 $m = 5$이고

$$\alpha_1 = k, \ \alpha_2 = k+2, \ \alpha_3 = k+4,\ \alpha_4 = k+6,\ \alpha_5 = k+8$$

이다. 그런데 주어진 조건에서 $\sum_{i=1}^m\alpha_i = 45$이므로, $k = 5$이다. 그리고

$$g(\alpha_1) = g(\alpha_5) = -\frac{2}{\pi^2}, \ g(\alpha_2) = g(\alpha_3) = g(\alpha_4) = -\frac{4}{\pi^2}$$

이므로

$$k-\pi^2\sum_{i=1}^mg(\alpha_i) = 5-\pi^2\left(-2\frac{2}{\pi^2} - 3\frac{4}{\pi^2}\right) = 21$$

이다. $\Box$

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